એક લંબઘનની દરેક સપાટી પર તેની પરિમિતિ અને તેના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો લખેલ છે. આમ લખાયેલી છ સંખ્યાઓમાંથી ત્રણ ભિન્ન સંખ્યાઓ $16, 24$ અને $31$ છે. લંબઘનનું ઘનફળ કોની વચ્ચે આવે છે?

ધારો કે $x, y, z$ એ ધન પૂર્ણાંકો છે જેથી $HCF(x, y, z)=1$ અને $x^2+y^2=2z^2$ થાય. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I$. $4$ એ $x$ ને ભાગે છે અથવા $4$ એ $y$ ને ભાગે છે.
$II$. $3$ એ $x+y$ ને ભાગે છે અથવા $3$ એ $x-y$ ને ભાગે છે.
$III$. $5$ એ $z(x^2-y^2)$ ને ભાગે છે.

$x$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે,જો $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2} \notin(a, b]$ હોય,તો $x$ ની કઈ કિંમત માટે $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2}=b-a+3$ થાય?

જો $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$ તમામ $x \in R$ માટે હોય,તો $y$ જે મહત્તમ લંબાઈના અંતરાલમાં રહે છે તે કયું છે?

ધારો કે $[r]$ એ $r$ થી વધુ ન હોય તેવો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. સમીકરણ $3 x^2 + 6 x + 5 + \alpha (x^2 + 2 x + 2) = 0$ ના બીજ સંકર સંખ્યાઓ હોય જ્યારે $\alpha > L$ અથવા $\alpha < M$ હોય. જો $(L - M)$ ન્યૂનતમ હોય,તો $[r]$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો જેથી તમામ $y \in R$ માટે $L y^2 + M y + r < 0$ થાય.

જો $x$ વાસ્તવિક હોય,તો $\frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.